第一部分：選擇題 (第 1 ～ 11 題，每題 8 分)
算式 $5^9 \times 5^3 \div 5^6$ 之值可用下列何者表示？
【正解：A】指數律核心
同底數相乘時指數相加，同底數相除時指數相減：
$5^9 \times 5^3 \div 5^6 = 5^{9 + 3 - 6} = 5^6$。
計算 $(4x^2 - 3x) - (5 - 2x)$ 的結果，與下列何者相同？
【正解：D】去括號負號變號
注意去括號時的符號陷阱：$-(5 - 2x) = -5 + 2x$。
原式 $= 4x^2 - 3x - 5 + 2x = 4x^2 + (-3x + 2x) - 5 = 4x^2 - x - 5$。
若二元一次聯立方程式 $\begin{cases} 41x + 3y = 97 \\ 19x - 3y = 23 \end{cases}$ 的解為 $x = a,\ y = b$，則 $a + 3b$ 之值為何？
【正解：B】加減消去法
1. 觀察兩式 $y$ 的係數剛好為 $+3$ 與 $-3$，直接將兩式相加：
$(41x + 19x) = 97 + 23 \implies 60x = 120 \implies x = 2$ (即 $a=2$)。
2. 代入第一式：$41(2) + 3y = 97 \implies 82 + 3y = 97 \implies 3y = 15 \implies y = 5$ (即 $b=5$)。
3. 所求 $a + 3b = 2 + 3(5) = 2 + 15 = 17$。
計算 $(3\sqrt{2} + \sqrt{6}) \times \sqrt{3}$ 的結果，與下列何者相同？
【正解：A】根號化簡
依乘法分配律展開：
$(3\sqrt{2} \times \sqrt{3}) + (\sqrt{6} \times \sqrt{3}) = 3\sqrt{6} + \sqrt{18}$。
化簡 $\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$，得到結果為 $3\sqrt{6} + 3\sqrt{2}$。
利用乘法公式判斷，下列算式之值，何者與其他三者不相同？
【正解：D】平方差因式結構
套用 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$：
• (A) $(97+3)(97-3)(97+1)(97-1) = 100 \times 94 \times 98 \times 96$
• (B) $(98+2)(98-2)(96+2)(96-2) = 100 \times 96 \times 98 \times 94$
• (C) $(99+1)(99-1)(95+1)(95-1) = 100 \times 98 \times 96 \times 94$
(A)、(B)、(C) 的乘積因子皆為 $100 \times 98 \times 96 \times 94$。
• (D) 展開為 $(100 \times 92) \times (100 \times 96)$，明顯與其他三者不同。
在坐標平面上，有一質點從點 $(-2, 3)$ 出發，先「向右移動 $a$ 單位」，再「向下移動 $b$ 單位」。若 $a > 4$ 且 $b > 5$，則此質點最後必定落在第幾象限？
【正解：D】象限正負號判斷
新坐標為 $(-2 + a,\ 3 - b)$：
• $x$ 坐標：因 $a > 4$，故 $-2 + a > -2 + 4 = 2 > 0$（為正數）。
• $y$ 坐標：因 $b > 5$，故 $3 - b < 3 - 5 = -2 < 0$（為負數）。
當 $x > 0$ 且 $y < 0$ 時，必落在第四象限 $(+, -)$。
已知 $a, b, c$ 皆為正整數，且 $a, b$ 兩數的最大公因數為 13，最小公倍數為 78。關於 $a, b, c$ 三數的最大公因數與最小公倍數，下列判斷何者正確？
【正解：B】集合包含與因倍數性質
• 最大公因數：$\gcd(a, b, c) = \gcd(\gcd(a,b), c) = \gcd(13, c)$。
因為 13 與 $c$ 的公因數必定是 13 的因數，所以最大公因數必定 $\le 13$（只能是 1 或 13）。
• 最小公倍數：$\text{lcm}(a,b,c) = \text{lcm}(78, c)$ 必為 78 的倍數，因此必定 $\ge 78$。
小明和小華各有一副標示 1 到 6 的撲克牌。小明蓋住其中 4 張（分別是 1、2、4、5）；小華也蓋住其中 4 張（分別是 2、3、4、6）。今兩人各自隨機翻開自己蓋住的 1 張牌，則小明翻開數字大於小華翻開數字的機率為何？
【正解：A】列表計數
小明可能翻開的牌為 $\{1, 2, 4, 5\}$，小華為 $\{2, 3, 4, 6\}$，樣本空間共有 $4 \times 4 = 16$ 種可能。
逐一檢驗小明大於小華的情形：
• 小明抽 1：無（0 種）
• 小明抽 2：無（0 種）
• 小明抽 4：小於 4 的有小華的 2、3（2 種）
• 小明抽 5：小於 5 的有小華的 2、3、4（3 種）
滿足條件數共有 $2 + 3 = 5$ 種，故機率 $= \dfrac{5}{16}$。
坐標平面上有二次函數 $y = -(x - 5)^2 + 9$ 的圖形。今將此圖形向左平移 8 個單位，在平移過程中，此圖形與 $y$ 軸的交點位置變化為何？
【正解：C】頂點與 y 軸距離動態分析
原拋物線頂點在 $(5, 9)$，開口向下。
設向左平移 $k$ 單位（$0 \le k \le 8$），頂點坐標變為 $(5 - k, 9)$，圖形與 $y$ 軸交點令 $x=0$：
$y = -(k - 5)^2 + 9$。
• 當 $k$ 從 $0$ 增加到 $5$ 時，頂點往 $y$ 軸靠攏，交點由 $-16$ 上升至頂點最高處 $9$（向上）。
• 當 $k$ 從 $5$ 增加到 $8$ 時，頂點穿過 $y$ 軸並向左遠離，交點由 $9$ 下降至 $0$（向下）。
因此交點位置變化為「先向上再向下」。
早午餐店販售漢堡每個 50 元、紅茶每杯 20 元，另有「超值特餐（1 漢堡 + 1 紅茶）」優惠價 60 元。某日盤點共賣出 80 個漢堡與 90 杯紅茶，總營業額為 5100 元。若所有餐點皆依單點或特餐售出，則當日賣出的特餐共有幾份？
【正解：C】代數設未知數
設賣出超值特餐 $x$ 份。
因為每份特餐用掉 1 個漢堡與 1 杯紅茶：
• 單點漢堡數量為 $80 - x$ 個。
• 單點紅茶數量為 $90 - x$ 杯。
依總收入列式：
$60x + 50(80 - x) + 20(90 - x) = 5100$
$60x + 4000 - 50x + 1800 - 20x = 5100$
$5800 - 10x = 5100 \implies 10x = 700 \implies x = 70$（份）。
在 $\triangle ABC$ 中，$G$ 為重心。若點 $D$ 在線段 $AG$ 上且 $AD : DG = 1 : 2$；點 $E$ 在 $AB$ 上且 $AE : EB = 1 : 3$。請問 $\triangle ADE$ 面積為 $\triangle ABC$ 面積的多少倍？
【正解：C】重心性質與比例線段
1. 由重心性質可知，重心將大三角形等分為三塊：$\triangle ABG = \dfrac{1}{3} \triangle ABC$。
2. $D$ 在 $AG$ 上：$\dfrac{AD}{AG} = \dfrac{1}{1 + 2} = \dfrac{1}{3}$。
3. $E$ 在 $AB$ 上：$\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{1}{1 + 3} = \dfrac{1}{4}$。
4. 因 $\triangle ADE$ 與 $\triangle ABG$ 共用 $\angle A$，其面積比為兩邊乘積比：
$\triangle ADE = \left(\dfrac{AD}{AG} \times \dfrac{AE}{AB}\right) \times \triangle ABG = \left(\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{4}\right) \times \left(\dfrac{1}{3}\triangle ABC\right) = \dfrac{1}{36}\triangle ABC$。
第二部分：非選擇題 (第 12 題，滿分 12 分)
美術課上，老師發給每組長寬為 $12\text{ cm} \times 4\text{ cm}$ 的紅色紙片，以及 $15\text{ cm} \times 4\text{ cm}$ 的藍色紙片若干張。小燦想在不裁切紙片的情況下，將紙片水平緊密拼排成一個大長方形。規則如下：
• 奇數層（第 1、3、5...層）全由紅色紙片組成。
• 偶數層（第 2、4、6...層）全由藍色紙片組成。
• 最後一層（最底層）必須為紅色紙片。
• 每一層的總長度必須完全相同。
請依題意回答下列問題，並在下方文字框中寫出解題推導過程：
1. 以上述方式拼成的大長方形，其長度（水平寬度）最小為多少公分？此時第一層最少需要幾張紅色紙片？ (5分)
2. 若材料包中紅色與藍色紙片的數量比為 $5 : 3$。小燦想以第 (1) 小題求出的最小長度進行拼排，判斷他是否可能恰好將購買的紙片全部用完？若可以，此時拼成的大長方形共有幾層？若不行，請說明理由。 (7分)
💡 會考非選擇題三級分標準檢核：
- 3級分：正確算出長度 60 公分、第一層 5 張，並列出紅藍層數方程解得 $m=4$、總層數 7 層。
- 2級分：正確求出第 (1) 小題，第 (2) 小題列出比例式但計算過程稍有疏漏。
- 1級分：僅正確求出最小公倍數 60 或第 (1) 小題部分答案。
【完整擬答與推導】
(1)
每層長度需同時為 12 與 15 的公倍數。最小長度 $= [12, 15] = 60\text{ cm}$。
第一層為紅色紙片，每張長 12 cm，需要張數 $= 60 \div 12 = 5$ 張。
答：最小長度為 60 公分，第一層需要 5 張紅色紙片。
(2)
每層藍色紙片需要張數 $= 60 \div 15 = 4$ 張。
依題意「奇數層為紅，偶數層為藍，最底層為紅」，可知紅色層數恰比藍色層數多 1 層。
設紅色層有 $m$ 層，則藍色層有 $m - 1$ 層（$m$ 為正整數）：
• 紅色紙片總需求 $= 5m$ 張
• 藍色紙片總需求 $= 4(m - 1)$ 張
依材料包紅藍比為 $5 : 3$ 列式：
$$\frac{5m}{4(m - 1)} = \frac{5}{3} \implies \frac{m}{4(m - 1)} = \frac{1}{3} \implies 3m = 4m - 4 \implies m = 4$$
因為 $m = 4$ 為正整數，完全符合題意！
此時紅色層有 4 層，藍色層有 $4 - 1 = 3$ 層，總層數 $= 4 + 3 = 7$ 層。
（驗算：紅紙共 $5 \times 4 = 20$ 張，藍紙共 $4 \times 3 = 12$ 張，其比為 $20:12 = 5:3$，恰好完全用完）。
答：可能恰好用完，此時拼成的長方形共有 7 層。